Abstract
American Journal of Mathematics, vol. xviii. No. 1, January, 1896.—“Sur la réduction à sa forme canonique de la structure d'un groupe de transformations fini et continu,” by E. Cartan. This memoir occupies 61 pages. We state the most important results in the writer's own words: “On peut toujours par des opérations rationnelles ramener le probléme au cas où le groupe est semi-simple, et même reconnâitre d'avance la nature des sousgroupes invariants simples qui composent le groupe. … Quant à la réduction à sa forme canonique de la structure d'un groupe simple, elle dépend d'une certaine équation algébrique dont le groupe de substitutions, au sens de Galois, est connu; cette équation s'appelle l' équation caracteristique du groupe. Les différents groupes de substitutions qui s'introduisent ainsi ne présentent rien d'interessant et se relient immediatement aux groupes symétriques de n lettres. Néanmoins trois d'entre eux offrent un intérêt particulier et sont isomorphes, l'un avec le groupe des 27 droites d'une surface du 3° ordre, l'autre avec le groupe des 28 tangentes doubles d' une courbe du 4e ordre, le dernier avec le 7e groupe hypoabelien de 120 lettres. Ce n'est pas un des resultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude, que d'établir une relation entre ces groupes de substitutions de Galois et les groupes de transformations de M. Lie.”—Mr. A. L. Baker writes upon algebraic symbols. The symbols considered are +, -, i(), and - i. The closing sentences will indicate the line of reasoning. “In tri-dimensional domains we have ()∞ x = x + iy + ju + ku, a quaternion. Is this a hint that in the Calculus of Reals, Complex Functions and Quaternions, we have run the gamut of the Algebraic Calculi?” There is some (to us) novel notation in this article. To express the roots of the Solvable Quantics as symmetrical functions of homologues, is the title of an interesting algebraic article by C. H. Kummell. There is, it may be inferred, some stiff reading in these three articles.—Two short notes on singular solutions by J. M. Page, and on a point of the theory of functions by A. S. Chessin, close the number, which is adorned with a fine portrait oof the French mathematician, M. Paul Appell.
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Scientific Serials. Nature 53, 381–382 (1896). https://doi.org/10.1038/053381a0
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